T-분포
t 분포는 정규분포와 생김새가 비슷하지만 꼬리 부분이 약간 더 두껍고 길다.- 표본통계량의 분포를 설명하는데 광범위하게 사용
- 표본 평균의 분포는 일반적으로 t분포와 같은 모양, 표본의 크기에 따라 다른 계열의 t분포가 있다.
- 표본이 클수록 더 정규분포를 닮은 t분포가 형성된다.
- 표본분포를 근사화하기 위한 수학적 기법과 t분포와 같은 함수를 사용
- 정확도는 표본의 통계량의 분포가 정규분포를 따른다는 조건을 필요로 한다.
- 모집단이 정규분포를 따르지 않을때 조차도, 표본통계량은 보통 정규분포를 따르는 것으로 나타남(=t분포가 널리 적용되는 이유)
- 중심극한정리
- 표본평균, 두 표본평균 사이의 차이(a/b테스트에서 사용), 회귀 파라미터 등의 분포를 위한 기준으로 널리사용
t 검정
- 데이터 횟수나 측정값을 포함하는지, 표본이 얼마나 큰지, 측정 대상이 무엇인지에 따라 다양한 유형의 유의성 검정 방법
검정력과 표본크기
- 효과크기effect size: 통계 검정을 통해 판단할 수 있는 효과의 최소 크기
- 검정력power: 주어진 표본크기로 주어진 효과크기 알아낼 확률
- 두개의 그룹 사이의 차이가 작을수록 더 많은 데이터가 필요하다. 검정력이란 특정 표본 조건(크기와 변이)에서 특정한 효과크기를 알아낼 수 있는 확률을 의미.
- 유의수준significance level: 검증시 사용할 통계 유의수준
표본크기
- 검정력의 주된 용도는 표본크기가 어느 정도 필요한가를 추정
- 표본 크기의 계산과 관련하여 다음 4가지 중요한 요소
- 표보크기 (effective size)
- 탐지하고자 하는 효과 크기
- 가설검정을 위한 유의수준 (significance leve)
- 검정력 (power)
- 위에 3가지를 정하면 나머지 하나를 알 수 있다.
Python
샘플 사이즈가 얼마나 필요할까?
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from scipy import stats
def get_power(n, p1, p2, cl):
alpha = 1 - cl
qu = stats.norm.ppf(1 - alpha/2)
diff = abs(p2-p1)
bp = (p1+p2) / 2
v1 = p1 * (1-p1)
v2 = p2 * (1-p2)
bv = bp * (1-bp)
power_part_one = stats.norm.cdf((n**0.5 * diff - qu * (2 * bv)**0.5) / (v1+v2) ** 0.5)
power_part_two = 1 - stats.norm.cdf((n**0.5 * diff + qu * (2 * bv)**0.5) / (v1+v2) ** 0.5)
power = power_part_one + power_part_two
return (power)
get_power(1000, 0.1, 0.12, 0.95)
def get_sample_size(power, p1, p2, cl, max_n=100000000):
n = 1
while n <= max_n:
tmp_power = get_power(n, p1, p2, cl)
if tmp_power >= power:
return n
else:
n = n + 10
return "Increase Max N Value"
click_rate = 15.6847 / 100
power = 0.8
cl = 0.95
percent_lift = 7 / 100
click_rate_p2 = click_rate * (1 + percent_lift) # relative
get_sample_size(power, click_rate, click_rate_p2, cl)
confidence interval을 어떻게 계산할까?
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def mean_confidence_interval(data, confidence=0.95):
a = 1.0 * np.array(data)
n = len(a)
m, se = np.mean(a), scipy.stats.sem(a)
h = se * scipy.stats.t.ppf((1 + confidence) / 2., n-1)
return m, m-h, m+h
def get_confidence_ab_test(click_a, num_a, click_b, num_b):
rate_a = click_a / num_a
rate_b = click_b / num_b
std_a = np.sqrt(rate_a * (1 - rate_a) / num_a)
std_b = np.sqrt(rate_b * (1 - rate_b) / num_b)
z_score = (rate_b - rate_a) / np.sqrt(std_a**2 + std_b**2)
return norm.cdf(z_score)
num_a, click_a = 30450, 4776
num_b, click_b = 30418, 5104
get_confidence_ab_test(click_a, num_a, click_b, num_b)
p-value
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def get_pvalue(con_conv, test_conv, con_size, test_size):
lift = -abs(test_conv - con_conv)
scale_one = con_conv * (1-con_conv) * (1/ con_size)
scale_two = test_conv * (1-test_conv) * (1/ test_size)
scale_val = (scale_one + scale_two) ** 0.5
p_value = 2 * stats.norm.cdf(lift, loc=0, scale = scale_val)
return p_value
# Trial 1
# click_a = 100
# click_b = 105
# num_a = 110000
# num_b = 120000
p_value = get_pvalue(click_a / num_a, click_b / num_b, click_a, click_b)
t-test
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a = [1000, 100000, 2000, 6000, 6000, 0, 0, 0,]
b = [1000,100000, 1000, 100, 100, 10, 10]
np.array(a).mean()
np.array(b).mean()
print(stats.ttest_ind(a=a, b=b))
print(stats.ttest_ind(a=b, b=a))
t-test w/ distribution
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a = [1000, 2000, 3000, 2000, 3000, 3000] * 10000
b = [1000, 2000, 3000, 2000, 3000, 2900] * 10000
a = np.array(a)
b = np.array(b)
np.random.shuffle(a)
np.random.shuffle(b)
np.array(a).mean()
np.array(b).mean()
print(stats.ttest_ind(a=a, b=b))
x1 = a
x2 = b
ax = sns.distplot(x1, kde=False, fit=sp.stats.norm, label="1번 데이터 집합")
ax = sns.distplot(x2, kde=False, fit=sp.stats.norm, label="2번 데이터 집합")
ax.lines[0].set_linestyle(":")
plt.legend()
plt.show()
t-test w/ stat
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from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.stats import ttest_ind, ttest_ind_from_stats
from scipy.special import stdtr
np.random.seed(1)
# Create sample data.
a = np.random.randn(40)
b = 4*np.random.randn(50)
# Use scipy.stats.ttest_ind.
t, p = ttest_ind(a, b, equal_var=False)
print("ttest_ind: t = %g p = %g" % (t, p))
# Compute the descriptive statistics of a and b.
abar = a.mean()
avar = a.var(ddof=1)
na = a.size
adof = na - 1
bbar = b.mean()
bvar = b.var(ddof=1)
nb = b.size
bdof = nb - 1
# Use scipy.stats.ttest_ind_from_stats.
t2, p2 = ttest_ind_from_stats(abar, np.sqrt(avar), na,
bbar, np.sqrt(bvar), nb,
equal_var=False)
print("ttest_ind_from_stats: t = %g p = %g" % (t2, p2))
# Use the formulas directly.
tf = (abar - bbar) / np.sqrt(avar/na + bvar/nb)
dof = (avar/na + bvar/nb)**2 / (avar**2/(na**2*adof) + bvar**2/(nb**2*bdof))
pf = 2*stdtr(dof, -np.abs(tf))
print("formula: t = %g p = %g" % (tf, pf))